5.8 Modos normales de una cuerda

Consideremos ahora una cuerda de longitud definida L, sujeta rígidamente en ambos extremos. Tales cuerdas se encuentran en muchos instrumentos musicales, como pianos, violines y guitarras. 

Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se produce una onda en ella; esta onda se refleja una y otra vez en los extremos de la cuerda, formando una onda estacionaria.

Ésta, a la vez, produce una onda sonora en el aire, cuya frecuencia está determinada por las propiedades de la cuerda.

Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. En el caso de un sistema compuesto por una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, cada una de las longitudes de onda corresponde al patrón y a la frecuencia de un posible modo normal.

Hay un número infinito de modos normales, cada uno con su frecuencia y patrón de vibración característicos. La figura 15.26 muestra los primeros cuatro patrones de modo normal y sus respectivas frecuencias y longitudes de onda. En contraste, un oscilador armónico, que sólo tiene una partícula oscilante, tiene un solo modo normal y una sola frecuencia característica.

En este apartado, obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:

Un incidente, que se propaga de izquierda a derecha

Ψi=A·sin(kx-ω t)

y otra relejada, que se propaga de derecha a izquierda.

Ψr=A·sin(kx+ω t)

La onda estacionaria resultante es

Ψ =Ψi+Ψr=2A·sin(kx)·cos(ω t).

Como vemos esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el término (kx-ω t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular ω y una amplitud 2A·sin(kx).

Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A·sin(kx)=0, por lo que kx=nπ con n=1, 2, 3, .... o bien, x= λ /2, λ, 3λ /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, λ /2.

Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. 

El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=λ /2. 

Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=λ. Para el tercer modo, L=3λ /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

 λ n=2Ln   n=1,2,3,... λ n=2Ln   n=1,2,3,...

Para hallar las frecuencias empleamos la relación λ =vP, o bien λ =v/f .

fn=n2Lvfn=n2Lv

En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.