5.3 Descripción matemática de una onda

Introducimos la función de onda = como una función matemática, que describe la posición de cualquier partícula en un medio en cualquier instante de tiempo.

                                                                                      y = y(x,t)

 Para una cuerda: El movimiento cíclico de diversos puntos de la cuerda están desfasados uno con respeto a otro en diversas fracciones del ciclo (ver Figura I.4.1). A esto llamamos = diferencia de fase La diferencia de fase debido al movimiento difiere para distintos puntos

La función de onda cuando el desplazamiento es, 

x = 0, se describe como: 

Y (0, t) = A sen (−ωt) = A sen (−2πf t) 

En t = 0, y = 0, el punto se mueve en la dirección +y. 

La perturbación viaja desde x = 0 hacia algún otro punto x, a la derecha en un tiempo t = x/ν. Así el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante t − x/ν.

 Y(x, t) = A sen −ω t − x ν = A sen −2πf t − x ν

= A sen 2πf x ν − t = A sen 2π f x ν − f t donde 1/λ = f /ν y f = 1/T. 

En términos del periodo T y la longitud de onda λ: 

y(x,t) = A sen 2π x λ − t T  

Utilizando el numero de onda, κ = 2 π λ , y como , λ = 2π κ , f = ω 2 π , y ν = λf . 

Obtenemos que ω = νκ, por lo tanto la función de onda queda como: y(x,t) = A sen(κx − ωt) donde [ω] = rad s , y [κ] = rad m .

Si la onda viaja en la dirección: y(x,t) = A sen  2πf x ν + t y(x,t) = A sen  2π x λ + t T  

La cantidad ωt ± κx es la fase. La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada. 

Para una onda viajando hacia x > 0, κx − ωt = cte. Derivando respeto a t: ω = κ dx dt o dx dt = ω κ es la velocidad de la fase.