Consideremos
una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta.
Vamos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de longitud dx,
situado en la posición x de la cuerda, una cantidad y respecto de la posición
de equilibrio.
Dibujamos las
fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo,
aplicando la segunda ley de Newton.
La fuerza que
ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento,
es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto,
formando un ángulo a con la horizontal.
La fuerza que
ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento, es
igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto,
formando un ángulo a’ con la horizontal.
Como el
elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las
dos fuerzas en esta dirección y la resultante.
dFy=T(sena’-sena
)
Si la curvatura
de la cuerda no es muy grande, los ángulos a’ y a son pequeños y sus senos se
pueden reemplazar por tangentes.
dFy=T(tga’-tga
)=T·d(tg a )=
La segunda ley
de Newton nos dice que la fuerza dFy sobre el elemento es igual al producto de
su masa por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento).
Vamos a
analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a
una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversales que se forman en la misma.
La onda se
propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una
cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y
rebota en los puntos de sujeción.
Se propaga con
una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de
longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una
"prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual
a aquella con que se propaga en un "bordón".
La masa del
elemento es igual al producto de la densidad lineal m (masa por unidad de
longitud), por la longitud dx del elemento.
Simplificando
el término dx llegamos a la ecuación diferencial del Movimiento
Ondulatorio, a partir de la cual,
obtenemos la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales
en la cuerda.
T es
la tensión de la cuerda en N
m es
la densidad lineal en kg/m
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