5.10 Fuerzas fundamentales de la naturaleza. Aplicaciones.

La física es uno de los grandes pilares de las ciencias, fundamental para el conocimiento y entendimiento de todo lo que nos rodea, así como también una de las ciencias duras y más antiguas de la historia. Dentro de esta ciencia, antiguamente se consideraron 4 fuerzas fundamentales: tierra, aire, agua y fuego, pero mucho tiempo ha pasado desde aquel entonces, mucho se ha avanzado en la materia y hoy, son otras las que se consideran como fundamentales.

Fuerza de gravedad

Esta es una fuerza puramente atractiva, ya que dos cuerpos con masa siempre tienden a atraerse por la fuerza de gravedad, a diferencia de otras fuerzas en las que también se pueden rechazar los objetos. Esta fuerza es la que mantiene a los planetas orbitando y girando alrededor del Sol, así como también por ejemplo a nuestro satélite natural, la Luna, que orbita alrededor de la Tierra. El gran Albert Einstein clarificó el concepto que teníamos de la fuerza de gravedad en su teoría general de la relatividad, como la curvatura del espacio-tiempo causada alrededor de cualquier objeto que tuviera masa.

Fuerza electromagnética

Una de las fuerzas que mejor conocemos y también a las que más habituados estamos, esta se da a través de partículas que se encuentran cargadas eléctricamente. Aquí, sin embargo, podemos tener una fuerza de atracción (partículas de diferente carga) o una fuerza de repulsión (misma carga). En el pasado se consideraba a la fuerza eléctrica y magnética como fuerzas distintas, pero James Clerk Maxwell las unificó en 1864, en su llamada ecuación de Maxwell.

Fuerza nuclear débil

 Tal como su nombre lo indica, la fuerza nuclear débil o "interacción débil" es una fuerza débil si lo comparamos con las otras tres anteriores, aunque tiene una función muy importante. Esta fuerza actúa a nivel de los núcleos atómicos y es la que permite la fusión de, por ejemplo, el hidrógeno, que es lo que nos permite no solo disfrutar de la luz del Sol, sino concebir la existencia misma tal como lo hacemos, siendo verdaderamente fundamental.

Fuerza nuclear fuerte

Esta es la más fuerte de todas las fuerzas, esta fuerza permite a los nucleones (los protones y los neutrones) mantenerse unidos a pesar de la fuerza de repulsión que existe entre ellas (los protones tienen la misma carga eléctrica positiva por lo que se rechazan mutuamente). Esta fuerza se considera de corto alcance, ya que permite que los protones del núcleo se encuentren unidos, por lo que solo afecta al mismo núcleo.

5.9 Fuerzas de fricción. Dinámica del movimiento circular.

Fuerza de fricción.

Siempre que un objeto se mueve sobre una superficie o en un medio viscoso, hay una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fricción. 

Las fuerzas de fricción son importantes en la vida cotidiana. Nos permiten caminar y correr. Toda fuerza de fricción se opone a la dirección del movimiento relativo.

Empíricamente se ha establecido que la fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal N, siendo k la constante de proporcionalidad, esto es, f = N.

Dinámica del movimiento circular

Según la primera ley de Newton, para que una partícula se mueva según una trayectoria no rectilínea es necesario que actúe una fuerza sobre ella, ya que si no permanecería en movimiento en línea recta indefinidamente. 

Esta fuerza, si tiene una componente perpendicular al movimiento, provoca que el cuerpo describa una trayectoria curva, aun cuando su velocidad lineal pueda ser constante. En el caso que la fuerza tenga un módulo constante y sea siempre perpendicular al movimiento, se tiene un movimiento denominado circular uniforme (m.c.u.). 

Este tipo de movimiento, por su simplicidad, nos servirá como base del estudio del movimiento de los planetas y satélites que va a desarrollarse en esta Unidad.

En un movimiento de este tipo, su trayectoria es circular y, según se vio, existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la velocidad lineal de la partícula y el radio de la trayectoria. En todo movimiento la aceleración puede descomponerse en dos componentes:

1) Aceleración normal (an) responsable del cambio de dirección (si an = 0 la trayectoria es una recta)

2) Aceleración tangencial (at) responsable del cambio en la velocidad lineal con la que se mueve el objeto.

5.8 Modos normales de una cuerda

Consideremos ahora una cuerda de longitud definida L, sujeta rígidamente en ambos extremos. Tales cuerdas se encuentran en muchos instrumentos musicales, como pianos, violines y guitarras. 

Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se produce una onda en ella; esta onda se refleja una y otra vez en los extremos de la cuerda, formando una onda estacionaria.

Ésta, a la vez, produce una onda sonora en el aire, cuya frecuencia está determinada por las propiedades de la cuerda.

Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. En el caso de un sistema compuesto por una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, cada una de las longitudes de onda corresponde al patrón y a la frecuencia de un posible modo normal.

Hay un número infinito de modos normales, cada uno con su frecuencia y patrón de vibración característicos. La figura 15.26 muestra los primeros cuatro patrones de modo normal y sus respectivas frecuencias y longitudes de onda. En contraste, un oscilador armónico, que sólo tiene una partícula oscilante, tiene un solo modo normal y una sola frecuencia característica.

En este apartado, obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:

Un incidente, que se propaga de izquierda a derecha

Ψi=A·sin(kx-ω t)

y otra relejada, que se propaga de derecha a izquierda.

Ψr=A·sin(kx+ω t)

La onda estacionaria resultante es

Ψ =Ψi+Ψr=2A·sin(kx)·cos(ω t).

Como vemos esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el término (kx-ω t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular ω y una amplitud 2A·sin(kx).

Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A·sin(kx)=0, por lo que kx=nπ con n=1, 2, 3, .... o bien, x= λ /2, λ, 3λ /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, λ /2.

Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. 

El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=λ /2. 

Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=λ. Para el tercer modo, L=3λ /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

 λ n=2Ln   n=1,2,3,... λ n=2Ln   n=1,2,3,...

Para hallar las frecuencias empleamos la relación λ =vP, o bien λ =v/f .

fn=n2Lvfn=n2Lv

En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

5.7 Ondas estacionarias en una cuerda

Si sujetamos una cuerda a un muro, y agitamos hacia arriba y hacia abajo el otro extremo, se producirá un tren de ondas en la cuerda. 

El muro es demasiado rígido para moverse, por lo que las ondas se reflejan y regresan por la cuerda. Si se mueve el extremo de la cuerda en forma adecuada, se hacer que las ondas incidente y reflejada formen una onda estacionaria, en la cual unas partes de la cuerda, llamadas nodos, queden estacionarias. 

Los nodos son las regiones de desplazamiento mínimo o cero, cuya energía es mínima o cero.

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. 

Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas.

5.6 interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición

Interferencia

Se refiere a lo que sucede cuando dos o más ondas pasan por la misma región al mismo tiempo.

Existen dos tipos:

La interferencia constructiva

Ocurre cuando en un punto de un medio interfieren ondas que tienen un desplazamiento en la misma dirección. Las ondas se refuerzan mutuamente cuando se superpone una cresta a otra cresta (o un valle a otro valle). 

Como en la figura de arriba, ambas ondas (la roja y la azul) tienen la forma de una cresta, el medio tiene un desplazamiento hacia arriba que es mayor que el desplazamiento de las dos ondas que interfieren. El desplazamiento del medio es mostrado en color verde.

La interferencia destructiva

Ocurre cuando en un punto de un medio interfieren ondas que tienen desplazamientos en direcciones opuestas. Las ondas se anulan cuando se superpone una cresta a un valle. 

Como en la figura de arriba, la onda que tiene la forma de cresta (la roja) tiene un desplazamiento hacia arriba mientras que la onda que tiene la forma de valle (la azul) tiene un desplazamiento hacia abajo, el medio tiene un desplazamiento que es igual a la diferencia de los módulos de los desplazamientos de las dos ondas que interfieren. El 

desplazamiento del medio es mostrado en color verde.

Principio de Superposición

Combinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada punto para obtener el desplazamiento real es un ejemplo del principio de superposición: cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que tendría el punto si sólo estuviera presente la primera onda, con el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la segunda. 

Dicho de otro modo, la función de onda y(x, t) que describe el movimiento resultante en esta situación se obtiene sumando las dos funciones de onda de las ondas individuales.

5.5 Energía del movimiento ondulatorio

Supongamos una onda armónica transversal de frecuencia angular ω y amplitud A que se propaga en una cuerda de densidad lineal de masa μ. Cada elemento de masa Δm describe un movimiento armónico simple en el eje vertical. Recordando la expresión para la energía transmitida (E) en un M.A.S. podemos expresar:

Donde Δx es un elemento de longitud de la cuerda y v la velocidad de propagación de la onda.

La potencia media P es la energía transmitida por el medio en la unidad de tiempo:

Si se supone que la cuerda tiene una cierta sección S, y una densidad volumétrica ρ se puede expresar:

Las unidades en el S.I. son los watios (W): 1W = 1J/1s.

Otra magnitud interesante es la intensidad (I) que se define como la potencia transmitida dividida por la superficie:

La intensidad se mide por tanto en W/m².

5.4 Rapidez de una onda transversal

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Vamos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de longitud dx, situado en la posición x de la cuerda, una cantidad y respecto de la posición de equilibrio.

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo, aplicando la segunda ley de Newton.

La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento, es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo a con la horizontal.

La fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento, es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo a’ con la horizontal.

Como el elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las dos fuerzas en esta dirección y la resultante.

dFy=T(sena’-sena )

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos a’ y a son pequeños y sus senos se pueden reemplazar por tangentes.

dFy=T(tga’-tga )=T·d(tg a )= 

La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza dFy sobre el elemento es igual al producto de su masa por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversales que se forman en la misma.

La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.

Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella con que se propaga en un "bordón".

La masa del elemento es igual al producto de la densidad lineal m (masa por unidad de longitud), por la longitud dx del elemento.

Simplificando el término dx llegamos a la ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio,  a partir de la cual, obtenemos la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda.

  T  es la tensión de la cuerda en N

  m  es la densidad lineal en kg/m

5.3 Descripción matemática de una onda

Introducimos la función de onda = como una función matemática, que describe la posición de cualquier partícula en un medio en cualquier instante de tiempo.

                                                                                      y = y(x,t)

 Para una cuerda: El movimiento cíclico de diversos puntos de la cuerda están desfasados uno con respeto a otro en diversas fracciones del ciclo (ver Figura I.4.1). A esto llamamos = diferencia de fase La diferencia de fase debido al movimiento difiere para distintos puntos

La función de onda cuando el desplazamiento es, 

x = 0, se describe como: 

Y (0, t) = A sen (−ωt) = A sen (−2πf t) 

En t = 0, y = 0, el punto se mueve en la dirección +y. 

La perturbación viaja desde x = 0 hacia algún otro punto x, a la derecha en un tiempo t = x/ν. Así el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante t − x/ν.

 Y(x, t) = A sen −ω t − x ν = A sen −2πf t − x ν

= A sen 2πf x ν − t = A sen 2π f x ν − f t donde 1/λ = f /ν y f = 1/T. 

En términos del periodo T y la longitud de onda λ: 

y(x,t) = A sen 2π x λ − t T  

Utilizando el numero de onda, κ = 2 π λ , y como , λ = 2π κ , f = ω 2 π , y ν = λf . 

Obtenemos que ω = νκ, por lo tanto la función de onda queda como: y(x,t) = A sen(κx − ωt) donde [ω] = rad s , y [κ] = rad m .

Si la onda viaja en la dirección: y(x,t) = A sen  2πf x ν + t y(x,t) = A sen  2π x λ + t T  

La cantidad ωt ± κx es la fase. La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada. 

Para una onda viajando hacia x > 0, κx − ωt = cte. Derivando respeto a t: ω = κ dx dt o dx dt = ω κ es la velocidad de la fase. 

5.2 Ondas periódicas

Las ondas más interesantes de la naturaleza son periódicas. Eso quiere decir que no es una única perturbación la que viaja, sino que son muchas (muchísimas) perturbaciones, una atrás de la otra, todas iguales y equiespaciadas. Eso es una onda periódica.

Dos gráficas diferentes para una onda periódica -como ejemplo- son las siguientes:

El de arriba nos muestra cómo están perturbadas todas las partículas afectadas en la propagación de la onda en un único instante.

Y el de abajo nos muestra cómo se perturba una única partícula material mientras se halla sometida al pasaje de la onda periódica.

La forma que elegí para mostrarte el fenómeno de la periodicidad es arbitraria. Se llama senoidal, porque tiene la pinta de la función trigonométrica seno. Pero bien podría tener otras formas: cuadrada, triangular... la que vos quieras. Mientras haya una forma básica que se repite periódicamente, estarás en presencia de una onda periódica.

Sin embargo, la forma que elegí -la senoidal- es carísima a la física. Un montón de fenómenos de relevancia tienen naturaleza senoidal, en particular el sonido y la luz, que se presentan en este mismo Sitio.

Para que haya una onda periódica debe existir algún perturbador inicial: algo o alguien que mueva a sus vecinos no porque se contagió de otro sino porque posee un motor propio. Luego, ya sabes, la onda se propaga por contagio en el medio material. Ese perturbador inicial (del que surgen -si queréis- las ondas) recibe el nombre de emisor.

Cuando el emisor produce ondas periódicas senoidales, se trata de un oscilador armónico. Los osciladores armónicos son los más importantes, ya que cualquier onda periódica -tenga la forma que tenga- se puede considerar como producida por un conjunto de osciladores de este tipo; y les dedicamos un par de páginas en este Sitio

5.1 Tipos de ondas mecanicas

Una Onda Mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que es un medio de la onda. Por ejemplo, cuando se pulsa una cuerda tensa, la perturbación provocada se propaga a lo largo de la misma en forma de un pulso ondulatorio. La perturbación en este caso consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio. Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. 

La Figura I.1.1 muestra tres variedades de ondas mecánicas. 

Cuando la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal, y cuando la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denomina onda longitudinal. a) Desplazamiento perpendicular de las partículas = ondas transversales b) Desplazamiento hacia adelante de las partículas = ondas longitudinales c) Desplazamiento perpendicular y hacia delante de las partículas = suma de ondas transversales y longitudinales El movimiento ondulatorio puede ser visto con una alteración (momentánea) del estado de equilibrio (perturbación) de las partículas que forman el medio. En cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra y siempre hay fuerzas que tienden a restablecer el sistema a su estado de equilibrio. 

Movimiento ondulatorio

Los movimientos oscilatorios que se desplazan en un medio reciben el nombre de ondas o movimientos ondulatorios. Estos fenómenos, muy comunes en la naturaleza, se presentan en dos formas principales:

* Las ondas mecánicas, que necesitan un medio material sobre el que propagarse (como el sonido o la transmisión de una onda sobre la superficie de un estanque).
* Las ondas electromagnéticas, que, como la luz, se transmiten en el vacío.

En el estudio clásico de las ondas se aplican varios principios de simplificación:

* Se supone que el medio de propagación es homogéneo, es decir, que todas las partículas oscilan de forma similar bajo la acción de fuerzas internas.
* Se considera que la frecuencia de todas las partículas del medio sometidas a la oscilación es la misma.
* La velocidad de propagación se supone constante, no dependiente de la frecuencia y tampoco de la dirección de propagación.

Ondas longitudinales

Un movimiento ondulatorio se denomina onda longitudinal cuando las partículas del medio sometidas a la oscilación vibran en la misma dirección en la que se propaga la onda.

Esta forma de movimiento ondulatorio es característica de la propagación de las ondas de sonido en el aire, en los líquidos no viscosos y en los gases en general, por lo que también reciben el nombre de ondas sonoras.

Las ondas longitudinales son aquellas en que la propagación y la vibración de las partículas tienen el mismo sentido.

Ondas transversales

En el tipo de movimiento ondulatorio denominado onda transversal, las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Un ejemplo de onda transversal es el movimiento que se produce al lanzar una piedra sobre el agua de un estanque en reposo.

Las ondas transversales tienen lugar, sobre todo, en sólidos y líquidos viscosos, aunque en estos materiales también es posible la propagación de ondas longitudinales.

 Ondas gravitacionales

Las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

Ondas unidimensionales

Las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.

Ondas bidimensionales o superficiales

Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él.

Ondas tridimensionales o esféricas

Son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

Ondas periódicas

La perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

Ondas no periódicas

La perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas se denominan también pulsos.